【王道考研·计算机组成原理】第2章 数据的表示和运算（整章完整版）

引言

第二章是计组里最容易“算错细节”的章节。

它的核心不是死记格式，而是把三件事打通：

  1. 数在机器里怎么编码。
  2. 运算器按什么规则做加减乘除。
  3. 溢出、舍入、精度损失为什么发生。

这一章学扎实，后面 ALU、CPU 控制和异常中断会更顺。

图像化理解（Mermaid）

一、数制与编码基础

1. 进位计数制

  1. 二进制、八进制、十进制、十六进制转换是基础题。
  2. 十六进制和二进制按 4 位一组对应。
  3. 八进制和二进制按 3 位一组对应。

2. 机器数与真值

  1. 真值：人类理解的带符号数值。
  2. 机器数：按编码规则写入寄存器/存储器的比特串。
  3. 通常最高位为符号位（定点有符号场景）。

3. 常见编码

  1. BCD：4 位编码 1 个十进制数字。
  2. ASCII：字符编码（考点常在“码值区间”）。
  3. 余 3 码、2421 码属于十进制编码，格雷码相邻编码仅 1 位不同，常用于降低转换误差。

4. 校验码（补充考点）

  1. 奇偶校验：可检错但不能纠错。
  2. CRC：适合成块数据传输检错。
  3. 海明码：可实现单比特纠错、双比特检错（常考编码位个数）。

二、定点数表示

1. 原码、反码、补码、移码

原码

  1. 符号位 + 数值绝对值。
  2. 存在 +0 和 -0 两种零。

反码

  1. 正数反码等于原码。
  2. 负数反码为原码符号位不变，其余位按位取反。

补码（重点）

  1. 正数补码等于原码。
  2. 负数补码 = 反码 + 1。
  3. 补码实现“加减统一成加法”。
  4. n 位补码范围：[-2^(n-1), 2^(n-1)-1]。

移码

  1. 通常用于表示浮点阶码。
  2. 移码 = 真值 + 偏置值（bias）。

2. 为什么补码更适合硬件

  1. 0 唯一表示，简化硬件。
  2. 减法可转加法，ALU 结构统一。
  3. 符号位可参与运算。

三、定点加减运算与溢出

1. 补码加减规则

  1. 按无符号二进制相加。
  2. 舍弃最高位进位（超出字长部分）。
  3. 结果按补码解释。

2. 溢出判断（高频）

同号相加、异号相减更可能溢出。

常用判据：

  1. 两个同号数相加，结果符号变了，则溢出。
  2. 双符号位法：最高两位不同表示溢出。
  3. 进位判别法：符号位的进位与最高数值位进位不同，则有符号溢出。

3. 逻辑移位与算术移位

  1. 逻辑左移/右移：空位补 0（常用于无符号）。
  2. 算术右移：符号位扩展（有符号补码常用）。
  3. 算术左移与逻辑左移在多数实现中表现一致，但溢出语义要区分。
  4. 右移通常不会产生有符号溢出，但可能因移出低位而丢失精度。

4. 条件码与状态标志位

  1. CF：主要反映无符号加减中的进位或借位情况。
  2. OF：反映有符号运算结果是否超出补码表示范围。
  3. SF：结果符号位，常用于有符号比较。
  4. ZF：结果是否为 0。
  5. 考题常把 CF 和 OF 对比：前者更偏向无符号意义，后者更偏向有符号意义。

5. 数据类型转换规则（补充考点）

  1. 同字长下有符号数与无符号数互转时，位模式不变，只是解释方式不同。
  2. 小字长扩到大字长时，有符号数常做符号扩展，无符号数常做零扩展。
  3. 大字长缩到小字长时通常直接截去高位，可能导致值改变甚至符号变化。
  4. int -> float/double 可能丢失精度；float/double -> int 可能发生截断或越界。

四、定点乘除法（理解级）

1. 乘法

  1. 可理解为“部分积 + 移位累加”。
  2. 常见算法：Booth（考试多考思想与步骤）。
  3. 原码一位乘法本质是“判乘数末位 -> 加部分积 -> 右移”。

2. 除法

  1. 核心是“试商 + 恢复/不恢复余数”。
  2. 关注符号处理与余数范围。
  3. 不恢复余数法通过加减交替减少一次恢复操作，是考题常见比较点。

3. 加法器与硬件实现

  1. 一位全加器由加数、被加数和低位进位产生本位和与高位进位。
  2. 串行进位加法器结构简单，但高位必须等待低位进位传播。
  3. 先行进位加法器预先计算进位生成/传递关系，用硬件复杂度换速度。
  4. 在先行进位思想中，通常把“本位是否产生进位”与“本位是否传递进位”作为核心中间量，再并行求出高位进位。

五、浮点数表示与 IEEE754

1. 基本形式

1
N = (-1)^S × M × 2^E

其中：

  1. S 是符号位。
  2. M 是尾数（规格化时通常形如 1.x）。
  3. E 是指数。

2. 规格化

  1. 目的：保证表示唯一性、提升精度利用率。
  2. 二进制规格化通常要求尾数最高有效位为 1。
  3. 左规会使阶码减小，右规会使阶码增大；浮点加减中常先对阶，再尾数运算，再规格化。

3. IEEE754 单精度（32 位）

  1. 符号位 S：1 位。
  2. 指数域 E：8 位（偏置 127）。
  3. 尾数字段 F：23 位（隐藏位机制）。

4. IEEE754 双精度（64 位）

  1. 符号位 1 位。
  2. 指数域 11 位（偏置 1023）。
  3. 尾数字段 52 位。

5. 特殊值

  1. E 全 0：非规格化数或 0。
  2. E 全 1 且 F 全 0：±∞。
  3. E 全 1 且 F 非 0：NaN。

6. 浮点运算高频细节

  1. 对阶只能让小阶向大阶对齐，否则会丢失高位有效信息。
  2. 尾数右移时常保留保护位、舍入位、粘滞位，以降低舍入误差。
  3. 尾数溢出通常可通过右规修正；真正决定浮点溢出的关键是阶码是否越界。

7. 浮点加减法五步法

  1. 对阶：小阶向大阶对齐。
  2. 尾数运算：做加法或减法。
  3. 规格化：必要时左规或右规。
  4. 舍入：结合附加位修正尾数。
  5. 判溢：重点看阶码是否越界。

8. 常见舍入方式

  1. 0 舍 1 入：看被舍去部分最高位决定是否加 1。
  2. 恒置 1：右移后末位恒置 1，属于一种近似处理方式。
  3. 直接截断：实现最简单，但精度损失最大。

六、PDF 例题与考点补充（第2章）

例题 1：8 位补码表示范围

题目：8 位补码整数可表示范围是多少。

解：

1
[-2^7, 2^7 - 1] = [-128, 127]

例题 2：补码求值

题目：11110110（8 位补码）对应十进制。

解：

  1. 符号位为 1，说明是负数。
  2. 取反加一：00001010，即 10。
  3. 真值为 -10。

例题 3：补码加法溢出

题目：8 位补码中 01111100 + 00001010 是否溢出。

解：

1
01111100(124) + 00001010(10) = 10000110

两正数相加得负数，溢出。

例题 4：浮点规格化

题目：将二进制 0.001101 规格化。

解：

1
0.001101 = 1.101 × 2^-3

例题 5：IEEE754 偏置理解

题目：单精度指数域存储值 130，对应真实指数是多少。

解：

1
E = 130 - 127 = 3

例题 6：右移区别

题目：10010000 做逻辑右移 2 位与算术右移 2 位结果分别是什么。

解：

  1. 逻辑右移：00100100。
  2. 算术右移：11100100（符号扩展）。

例题 7：两个零的问题

题目：为什么补码系统中只有一个 0。

解：

  1. 补码把负数映射到模环。
  2. +0 与 -0 表示合并，简化判断逻辑。

七、高频易错点

  1. 把“反码 + 1”写成“原码 + 1”。
  2. 溢出判断只看进位而不看符号关系。
  3. 把逻辑右移当算术右移。
  4. 忘记 IEEE754 指数域是偏置编码。
  5. 浮点比较时忽略舍入误差与精度损失。

八、本章速记清单

  1. n 位补码范围：[-2^(n-1), 2^(n-1)-1]。
  2. 负数补码：反码 + 1。
  3. 同号相加符号变，通常溢出。
  4. 单精度偏置值是 127。
  5. 浮点数由符号、阶码、尾数组成。

总结

第二章本质上是在回答：

  1. 数据怎样被机器“编码”。
  2. 运算怎样在编码层面“可实现”。
  3. 精度与溢出怎样被“系统化处理”。

把补码与 IEEE754 真正吃透，后面 ALU、流水线异常和数值题会非常稳。

作者：[Austoin]
参考来源：E:\PDF\计算机组成原理（含新大纲考点）.pdf、E:\PDF\2027计算机组成原理_高清带书签版.pdf（章节知识点整合）